들어가며

회귀분석을 하다보면 여러가지 이유로 변환(transformation)을 하게 된다. 가장 흔하게 하는 변환은 log 변환이다. 회귀분석의 좌변(종속변수)와 우변(독립변수)를 각기 log로 변환한다고 하면, 변환 유무에 따라서 네 가지 조합이 가능하다.

level-level의 조합에서 β�는 x�의 한 단위 변화에 대한 y�의 변화 단위를 측정한다. 이하에서는 오해의 소지가 없는 이상 i� 인덱스 와 εi��은 생략하도록 하자.

log-level model

살짝 복잡하지만 log-level 모형부터 시작해보자. 계산 과정을 이해하는 데 도움이 된다.

$$\log y=\alpha +\beta x$$

• $y$에 붙은 로그를 제거한다. $y=e^{\alpha +\beta x}$
• $x$가 $\Delta x$ 만큼 변하면 그에 상응하여 $y$가 $\Delta y$ 만큼 변한다고 하자. $y+\Delta y=e^{\alpha +\beta (x+\Delta x)}=e^{\alpha +\beta x}{e}^{\beta \Delta x}=y\left(e^{\beta \Delta x}\right)$
• 양변을 $y$로 나눈다. $\frac{y+\Delta y}{y}=1+\frac{\Delta y}{y}=e^{\beta \Delta x}$

• 종속변수에 log를 취했다면 $x$의 $\Delta x$ 증가에 대한 $y$의 % 변화율은 위와 같이 측정할 수 있다. $100\times \frac{\Delta y}{y}=(e^{\beta \Delta x}-1)\times 100$

• 근사치로 해석해보자. $\beta \Delta x$ 값이 크지 않다면 (대략 0.1이하), $e^{\beta \Delta x}\approx 1+\beta \Delta x$에 따라서 대략 $(\beta \Delta x\times 100)$ % 변화로 간주해도 무방하다.

• 같은 취지로 식의 양변을 편미분해서 동일한 결과를 도출할 수 있다.
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• $\frac{dy/y}{dx}$는 $x$가 몹시 미세하게(infinitesimal) 변화할 때 $dy/y$의 ‘순간’(instantaneous) 변화비율을 나타낸다. 만일 이를 %로 표시하고 싶다면, $\beta \times 100$이 된다.
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• 정리하자면, log-level model 에서 $\beta$ 는 $x$ 의 한 단위 변화에 대한 $y$ 의 변화율을 의미한다.

level-log model

y=α+βlogx�=�+�log⁡�

• 앞서와 마찬가지로 ΔxΔ�, ΔyΔ�를 적어보자.
  y+Δy=α+βlog(x+Δx)�+Δ�=�+�log⁡(�+Δ�)
• 양변에서 y�를 빼주면 아래와 같이 전개된다.
  Δy=β(log(x+Δx)−logx)=βlog(1+Δxx)Δ�=�(log⁡(�+Δ�)−log⁡�)=�log⁡(1+Δ��)
• 만일 ΔxxΔ��의 값이 작다면, log(1+Δxx)≈Δxxlog⁡(1+Δ��)≈Δ��를 사용할 수 있다. ΔxxΔ��를 %로 표현하고 싶다면 100을 곱하면 된다. 따라서 Δy≈β100(100×Δx/x)Δ�≈�100(100×Δ�/�) 라고 볼 수 있다.
• 같은 결과를 편미분을 통해 도출할 수 있다. 양변을 x�에 대해서 미분하면 dy=βdxx��=����
• 결국 x�가 1% 만큼 증가할 때 y� 는 β100�100 만큼 변한다는 것을 의미한다.

log-log model

logy=α+βlogxlog⁡�=�+�log⁡�

정확한 변화를 계산하는 것은 위의 두 과정을 합친 것과 비슷하니 각자 연습해보기 바란다! 혹시 어렵다면 아래 부록을 참고하기 바란다. 이 문제도 역시 편미분으로 접근하면 조금 이해가 쉽다. 모델에서 β�는 logylog⁡�를 logxlog⁡�에 대해서 편미분한 값과 같다. 즉,

β=dlogydlogx=(dy/y)×100(dx/x)×100�=�log⁡��log⁡�=(��/�)×100(��/�)×100

이때 β�는 x�의 미세한 % 변화율에 대한 y�의 % 변화율을 측정한다. 둘 다 % 변화로 표현되었기 때문에 단위에서 자유롭다. 경제학에서 흔히 “순간 탄력성”이라고 부르는 값이다. 즉, 가격의 미세한 x� % 변화에 대한 수요의 변화율을 측정한다. 경제학에서 log-log 변환이 유달리 많이 사용되는 이유는 이렇듯 경제적인 해석이 쉽기 때문이다.